\input{../preambules/preDM.tex}
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\usepackage[np]{numprint}
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\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pst-3dplot,pstricks-add}
\renewcommand{\P}{\mathscr{P}}
\begin{document}

\chead{Correction SIGMA n°1}
\lfoot{}


\begin{center}
\fbox{ \Large Correction SIGMA n°1}
\end{center}
\vspace{30pt}

\subsection*{EXERCICE 1 - Calculs de Sommes}
\begin{enumerate}
\item On va montrer par récurrence les propositions $\P_n : \left\{ \ds\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2 + k} = 1 - \dfrac{1}{n+1} \right\}$. 

\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On a bien $\ds \sum_{k=1}^1 \dfrac{1}{k^2 + k} = \dfrac{1}{2}$ et $1 - \dfrac{1}{1+1}  = 1 - \dfrac{1}{2}$  donc $\P_1$ est vraie.
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n \geq 1$. On a alors
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n+1} \dfrac{1}{k^2 + k} & = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2 + k} + \dfrac{1}{(n+1)^2 + (n+1)} \quad \text{(relation de Chasles)} \\
&  = 1 - \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \\
& = 1 + \dfrac{-(n+2) + 1}{(n+1)(n+2)} \\
& = 1 + \dfrac{-n-1}{(n+1)(n+2)} \\
& = 1 - \dfrac{(n+1)}{(n+1)(n+2)} \\
& = 1 - \dfrac{1}{n+2}
\end{align*}
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{$\ds \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2 + k} = 1 - \dfrac{1}{n+1}$}.
\end{itemize}

\item \begin{enumerate}
\item On calcule 
\begin{align*}
A & = \ds \sum_{k=1}^n 2k + k^2 \\
  & = 2 \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n k^2 \\
  & = 2 \dfrac{n(n+1)}{2} + \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\
  & = n(n+1) \left(1 + \dfrac{2n+1}{6} \right) \\
  & \boxed{= \dfrac{n(n+1)(2n+7)}{6} }
\end{align*}

\item On calcule 
\begin{align*}
B & = \ds \sum_{k=2}^n 2^k \\
  & = 2^2 \left( \dfrac{1 - 2^{n-2+1}}{1 - 2} \right) \\
  & \boxed{= - 4 (1 - 2^{n-1})}
\end{align*}

\item On calcule à l'aide du changement d'indice $j = k-2$,
\begin{align*}
C & = \ds \sum_{k=2}^{n+2} (k-2)^3 \\
  & = \sum_{j=0}^n j^3 \\
  & \boxed{= \left( \dfrac{n(n+1)}{2} \right)^2}
\end{align*}
\end{enumerate}

\item On calcule la somme suivante en repérant une somme télescopique
\begin{align*}
D & = \ds \sum_{k=3}^n \ln \left( \dfrac{k+1}{k} \right) \\
  & = \sum_{k=3}^n \ln(k+1) - \ln(k) \\
  & \boxed{= \ln(n+1) - \ln(3). }
\end{align*}

\item On calcule en remarquant un binôme de Newton.
\begin{align*}
E & = \ds \sum_{k=0}^n \vect{n}{k}{} 2^{k+1} (-1)^{n-k} \\
  & = \ds 2 \sum_{k=0}^n \vect{n}{k}{} 2^{k} (-1)^{n-k} \\
  & = 2 \times (2 - 1)^n \\
  & \boxed{= 2}
\end{align*}
\end{enumerate}

\subsection*{EXERCICE 2 - ECRICOME 2020 - Voie ECT}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\bf Partie A}

%------------------------------------------------------


On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : 
\[
u_{0}=0, \quad u_{1}=1, \quad \text{et} \quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}, u_{n+1}=7 u_{n}+8 u_{n-1}
\]

\begin{enumerate}
\item On a le script Scilab suivant:

\begin{center}
\begin{verbatim}
n=input('entrer un entier n  :  ')
u=0; v=1
for k= 1 : n   // ici u=u(k-1), v=u(k)
     w=u  //  w vaut u(k-1)
     u=  v   // u vaut u(k)
     v= 7*v +8*w    // v vaut 7*u(k)+8*u(k-1)=u(k+1)
end  // en sortie du while u vaut u(n)
disp(u)
\end{verbatim}
\end{center}

\item On résout l'équation 
$$
x^2 - 7x - 8 = 0
$$
dont le discriminant est $\Delta = 49 - (-32) = 81$. Cette équation a donc deux solutions 
$$
x_1 = \dfrac{7 - 9}{2} = - 1 \qquad \text{et} \qquad x_2 = \dfrac{7+9}{2} = 8
$$
Ainsi, d'après le cours, il existe $\lambda$ et $\mu$ tel que 
$$
\forall n \in \N, \quad u_n =\lambda (-1)^n + \mu \times 8^n
$$
On détermine alors $\lambda$ et $\mu$ en posant le système :
\begin{align*}
\begin{cases} 
\lambda + \mu &=  0  \quad (u_0)\\
-\lambda + 8 \mu & = 1 \quad (u_1)
\end{cases} & \Longleftrightarrow  
 \begin{cases} 
 \mu &=  -\lambda  \\
\mu + 8 \mu & = 1 
\end{cases} \\
& \Longleftrightarrow  
 \begin{cases} 
\lambda &=  -\dfrac{1}{9}  \\
\mu & = \dfrac{1}{9}
\end{cases}
\end{align*}
On a donc 
\begin{center}
\fbox{$ u_n = \dfrac{-1}{9} \times (-1)^n + \dfrac{1}{9} \times 8^n = \dfrac{(-1)^{n+1} + 8^n}{9}$}
\end{center}
\item 
Soit $n\in\N^*$
\begin{align*}
s_{n} & =u_{n+1}+u_{n} \\
      & = 7u_n+8u_{n-1}+u_n  \\
      & = 8(u_n+u_{n-1}) \\
      & = 8s_{n-1}.
\end{align*}
  
Donc  
\begin{center}
\fbox{{$\left(s_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$  est une suite géométrique de raison 8.}}
\end{center}
 
 Donc,  \begin{center}
 \fbox{$\forall n\in\N, s_n=8^ns_0= 8^n.$}
 \end{center}
 
\item On pose pour tout entier naturel $n$  : 
\[
v_{n}=(-1)^{n} u_{n} \quad \text { ct } \quad t_{n}=v_{n}-v_{n+1}.
\]
\begin{enumerate}
\item 
Soit $n\in\N,$
\begin{align*}
 t_{n} & = v_{n}-v_{n+1} \\
       & = (-1)^{n} u_{n}-(-1)^{n+1} u_{n+1} \\
       & = (-1)^{n} u_{n}+(-1)^{n} u_{n+1} \\
       & =(-1)^{n}\left(u_{n}+ u_{n+1}\right) \\
       &\boxed{ = (-1)^{n}s_n .}
\end{align*}

\item Donc, pour tout $n \geqslant 0,$ \begin{center}
\fbox{on a $t_{n}=(-8)^{n}$ car $s_n=8^n.$}
\end{center}
\end{enumerate}
 \item Soit $n$ un entier naturel non nul.\\
\begin{enumerate}
\item  Avec $-8\ne 1, \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}(-8)^{i}=\frac{1- (-8)^{n}}{1-(-8)} =\frac{1- (-8)^{n}}{9} .$
\item  On reconna\^\i t une somme t\'elescopique 
\begin{align*}
\sum_{i=0}^{n-1}\left(v_{i}-v_{i+1}\right) & =(v_0-v_1)+(v_1-v_2)+...+(v_{n-2}-v_{n-1})+(v_{n-1}-v_n)      \\
& = v_0-v_{n}
\end{align*}

 Or $v_0=(-1)^0u_0=0$ donc 
 \begin{center}
 \fbox{$ \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}\left(v_{i}-v_{i+1}\right)=-v_n.$}
 \end{center}
\item  On a 
\begin{align*}
v_{n} & = - \sum_{i=0}^{n-1}\left(v_{i}-v_{i+1}\right) \\
      & = - \sum_{i=0}^{n-1}t_i \\
      & = - \sum_{i=0}^{n-1}(-8)^{i} \\
      & \boxed{=   \frac{ (-8)^{n}-1}{9} .}
\end{align*}

On sait que  $v_n=(-1)^nu_n$ donc 
\begin{align*}
u_n & =(-1)^nv_n \\
    & = (-1)^n \times \frac{ (-8)^{n}-1}{9} \\
    & = \frac{ (-1)^n(-1)^n (8)^{n}-(-1)^n}{9} \\
    & \boxed{=  \frac{(8)^{n}+(-1)^{n+1}}{9} .}
\end{align*}


\end{enumerate}


%------------------------------------------------------
%------------------------------------------------------
\end{enumerate}

%------------------------------------------------------
%------------------------------------------------------


%------------------------------------------------------

{\bf Partie B}

%------------------------------------------------------


On considère les matrices carrées d'ordre 3 suivantes : 
\[
M=\left(\begin{array}{lll}
2 & 3 & 3 \\
3 & 2 & 3 \\
3 & 3 & 2
\end{array}\right) \quad \text { et } \quad I=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)
\]
 \begin{enumerate}
\item 
Il s'agit de montrer que $M^2-7M-8I_3$ est la matrice nulle de ${\cal M}_3(\R).$

On  calcule
$$M^2 =\left(\begin{array}{lll}
2 & 3 & 3 \\
3 & 2 & 3 \\
3 & 3 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
2 & 3 & 3 \\
3 & 2 & 3 \\
3 & 3 & 2
\end{array}\right)  =\left(\begin{array}{lll}
22 & 21 & 21 \\
21 & 22 & 21 \\
21 & 21 & 22
\end{array}\right) $$
donc 
$$M^2-7M-8I_3 =  \left(\begin{array}{lll}
22 & 21 & 21 \\
21 & 22 & 21 \\
21 & 21 & 22
\end{array}\right) + \left(\begin{array}{lll}
-14 & -21 & -21 \\
-21 & -14 & -21 \\
-21 & -21 & -14
\end{array}\right)   - 8  \left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)  = (0).$$
\begin{center}
\fbox{Bilan   :   $M^2 - 7M - 8I_3 = 0$}
\end{center}

\item
On isole $I_3$ dans ce qui pr\'ec\`ede 
\begin{align*}
M^2 - 7M - 8I_3 = 0 & \Longleftrightarrow M^2 - 7M = 8I_3 \\
& \Longleftrightarrow (M- 7I_3) \times M = 8I_3 \\
& \Longleftrightarrow \dfrac{1}{8} (M- 7I_3) \times M = I_3
\end{align*}

 donc \begin{center}
 \fbox{$M$ est inversible et  $M^{-1}= \frac18M-\frac78I_3$.}
 \end{center}

\item \begin{enumerate}
\item 
 On pose  :  $a_{0}=0$ et $b_{0}=1 .$ Par d\'efinition $M^0=I = 0\times M+1\times I =a_{0} M+b_{0} I.$
\item On pose  $a_{1}=1$ et $b_{1}=0$ ainsi $ M=M^{1}=a_{1} M+b_{1} I$.
\item On va montrer par récurrence les propositions $\P_n : \left\{\exists a_n,b_n \in \R,   M^n =a_n M + b_n I_3  \right\}$. 

\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} D'après la question 3(a), en prenant $a_0 =0$ et $b_0=1$, on a bien $M^0 =a_{0} M+b_{0} I.$ donc $\P_0$ est vraie.
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n \geq 0$. On a alors (en se souvenant que $M^2 = 7M + 8I_3$
\begin{align*}
M^{n+1} & = M^n \times M  \\
& = (a_n M + b_n I) \times M \\
& = a_n M^2 + b_n M \\
& = 7a_n M + 8a_n I_3 + b_n M \\
& =(7a_n + b_n) M + 8 a_n I_3
\end{align*}
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie en prenant $a_{n+1} = 7 a_n + b_n$ et $b_{n+1} = 8 a_n$. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{ $\forall n \in \N, \exists a_n,b_n \in \R,   M^n =a_n M + b_n I_3 $}.
\end{itemize}
De plus les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ vérifient,
$$
a_{n+1} = 7 a_n + b_n \qquad b_{n+1} = 8 a_n
$$

\item On a d'après la question précédente, $b_n = 8 a_{n-1}$ et 
$$
a_{n+1} = 7 a_n + 8 a_{n-1}
$$
De plus $a_0 = 0 $ et $a_1 = 1$. Il s'agit donc de la même suite que celle de la partie $A$. 
\begin{center}
\fbox{$\forall n \in \N a_n = u_n = \dfrac{8^{n}+(-1)^{n+1}}{9}$}
\end{center}
On en déduit alors que pour tout $n \in \N^*$,
\begin{center}
\fbox{$
b_n = 8 a_{n-1} = \dfrac{8^{n-1}+(-1)^{n}}{9}
$}
\end{center}

Ainsi 
\begin{center}
\fbox{Pour tout $n \in \N^*$,
$
M^n = \dfrac{8^{n}+(-1)^{n+1}}{9} M +  \dfrac{8^{n-1}+(-1)^{n}}{9} I_3
$}
\end{center}


\end{enumerate}\end{enumerate}



%------------------------------------------------------
%------------------------------------------------------
%------------------------------------------------------





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{EXERCICE 3 - ECRICOME 2020 Voie ECT}



%------------------------------------------------------

{\bf Partie A}

%------------------------------------------------------


\begin{enumerate}
\item  L'équation $x^{2}+x+1=0$ a pour discriminant $\Delta=1-4= -3<0$ donc 
\begin{center}
\fbox{elle n'a pas de racine r\'eelle.}
\end{center} 

On considère alors la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : 
\[
\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{x}{1+x+x^{2}}
\]

On note $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ la courbe représentative de $f$

\item Soit $x\ne 0.$ 
$$f(x) =\frac{x}{x^2\left(\frac1{x^2}+\frac1x+1\right)}= \frac{1}{x\left(\frac1{x^2}+\frac1x+1\right)}.$$

Or $ \li_{x \to + \infty} \frac{1}{x} = 0$ et $ \li_{x \to + \infty} \frac{1}{x^2}  = 0$ donc 
\begin{center}
\fbox{$\li_{x \to + \infty} f(x) =0$.}
\end{center}

De m\^eme $\li_{x \to - \infty} \frac{1}{x} = 0$ et $ \li_{x \to - \infty} \frac{1}{x^2} = 0$ donc 
\begin{center}
\fbox{$\li_{x \to -\infty} f(x) = 0$.}
\end{center}


\item 
$f$ est un quotient de polyn\^omes dont le d\'enominateur ne s'annule pas donc $f$ est d\'erivable sur $\R$ et, pour tout $x\in\R,$
$$f'(x) = \frac{1+x+x^2-x(1+2x)}{(1+x+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x+x^2)^2}=
\frac{(1-x)(1+x)}{(1+x+x^2)^2}.$$

$f'$ ne  s'annule qu'en $-1$ et en 1, $f(-1)= -1, f(1)=\frac13.$

\begin{center}  
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$ / 1 , $1+x$ / 1, $1-x$ / 1, $f'(x)$/1,$f(x)$ / 1.5}{$-\infty$, $-1$, $1$, $+\infty$} 
\tkzTabLine{, -, z, +,t,+} \tkzTabLine{, +, t, +, z,-}\tkzTabLine{, -, z, +, z,-} \tkzTabVar{+/ 0, -/ $-1$, +/$\frac13$ ,-/ 0}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Le signe positif de $f'$ sur $[-1,1]$ assure que 
 $f$ est croissante sur l'intervalle $[-1,1].$

\item \begin{enumerate}
\item   Une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au point d'abscisse 0 est donn\'ee par la formule \begin{center}
\fbox{$y=f'(0)(x-0)+f(0)\text{  c'est-\`a-dire 
}   y=x.$}
\end{center}
\item Soit $x\in\R$, on a  
\begin{align*}
f(x)-x & = \frac{x}{1+x+x^2}-x \\
       & = \frac{x-x(1+x+x^2)}{1+x+x^2} \\
       & = \frac{-x^2-x^3}{1+x+x^2} \\
       & = \frac{-x^2(1+x)}{1+x+x^2}.
\end{align*}

Or $1+X+X^2$ n'a pas de racine r\'eelle donc est de signe constant sur $\R$ et $1+x+x^2>0.$ De plus si $x\geqslant -1$ alors $1+x\geqslant 0$ de sorte que $f(x)-x\leqslant 0.$ 

Finalement, pour tout réel $x$ de $[-1,+\infty[,$  { on a } $ f(x) \leqslant x$.
\begin{center}
\fbox{  Donc ${\cal C}_f$ est sous sa tangente en 0 sur l'intervalle $[-1,+\infty[$.}

\end{center}
\end{enumerate}

\item On a 
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{Sigma1Ex3.png}

\end{center}


\end{enumerate}


%------------------------------------------------------

{\bf Partie B}

%------------------------------------------------------


On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ définie par : 
\[
u_{1}=1 \quad \text { et } \quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}, u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)=\frac{u_{n}}{1+u_{n}+u_{n}^{2}}
\]
\begin{enumerate}
\item 
 Soit $n\in\N^*,$
\[
 f\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}\times \frac{n}{n}=\frac{1}{n+1+\frac{1}{n}}.
\]
On a $0< \frac{1}{n}$ donc $0<n+1<n+1+ \frac{1}{n}$, en composant par $u\mapsto \frac1u$ strictement d\'ecroissante sur $\R^{+*}$ on a 

\begin{center}
\fbox{$
 f\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n+1+\frac{1}{n}} \leqslant \frac{1}{n+1}.
$}
\end{center}

\item  On pose, pour tout $n\in\N^*,$ ${\cal H}_n$  :  $ \quad 0 \leqslant u_{n} \leqslant \frac{1}{n}.$
 
 On sait que $u_1=1\in]0,1]$ donc ${\cal H}_1$ est vraie.
 
 Supposons ${\cal H}_n$ vraie \`a un rang $n\in\N^*,$ alors 
 $$0<u_n\leqslant \frac{1}{n}\leqslant 1$$
 or $f$ est croissante sur $[0,1]$ donc 
 $$f(0)\leqslant f(u_n)=u_{n+1}\leqslant f\left(\frac1n\right)\leqslant \frac{1}{n+1}.$$
 
Comme $u_n>0,$ on a $u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n+u_{n}^2}>0.$
Donc ${\cal H}_{n+1}$ est vraie. 

Bilan   :\begin{center}
\fbox{ $
\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad 0 \leqslant u_{n} \leqslant \frac{1}{n}
.$}
\end{center}

\item  On a le programme Scilab suivant
\begin{verbatim}
n = input("Entrez un entier n")
u = 1
for k = 2:n
    u = u/(1+u+u^2)
end
disp(u)
\end{verbatim}

\end{enumerate}

{\bf Partie C}

%------------------------------------------------------




On considère la suite $\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ définie par : 
\[
v_{1}=-2 \quad \text { et } \quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad v_{n+1}=f\left(v_{n}\right)=\frac{v_{n}}{1+v_{n}+v_{n}^{2}}
\]
\begin{enumerate}
\item On va montrer par récurrence les propositions $\P_n : \left\{ -1 \leq v_n \leq 0 \right\}$. 

\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On a $v_1 = -2$ donc 
\begin{align*}
v_2 = f(v_1) & = \dfrac{-2}{1 - 2 + (-2)^2} \\
             & = - \dfrac{2}{3} 
\end{align*}
Ainsi $-1 \leq v_2 \leq 0$ donc $\P_2$ est vraie. 

\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n \geq 2$. On a alors d'après le tableau de variation de la question 3 partie A et d'après l'hypothèse de récurrence
\begin{align*}
- 1 \leq v_n \leq 0 & \Longrightarrow f(-1) \leq f(v_n) \leq f(0) \\
& \Longrightarrow -1 \leq v_{n+1} \leq 0
\end{align*}
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{ $\forall n \geq 2, -1 \leq v_n \leq 0 $}.
\end{itemize}

\item La question 4 de la Partie A nous dit que si $x\in[-1,1]$ alors $f(x)\leqslant x$ donc, pour tout $n\geqslant 2,$  $ \quad -1 \leqslant v_{n} \leqslant 0$ implique 
$f(v_n)\leqslant v_n$ donc $v_{n+1}\leqslant v_n.$


Finalement  \begin{center}
\fbox{la suite $\left(v_{n}\right)_{n \geqslant 2}$ est décroissante.}
\end{center}


\item Vu l'alignement des points au voisinage de la droite d'\'equation $y=-1,$ on conjecture que la limite de la suite $\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ est $-1.$





\item \begin{enumerate}
\item  Soit $x\in\R,$
$$\begin{array}{rcl}f(x)=-1&\Longleftrightarrow &\displaystyle\frac{x}{1+x+x^2}+1=0\\
&\Longleftrightarrow &\displaystyle\frac{1+2x+x^2}{1+x+x^2}=0\\
&\Longleftrightarrow &{1+2x+x^2}=0\\
&\Longleftrightarrow &{(1+x)^2}=0\\
&\Longleftrightarrow &x=-1\end{array}$$


\item La n\'egation de 
$
\Big(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad v_{n} \neq-1\Big)$
est 
$\Big(\exists n \in \mathbb{N}^{*}, \quad v_{n} =-1 \Big).$

Supposons qu'il existe $n\in \N^*$ tel que $v_{n} =-1$. Comme $v_1=-2,$ on a $n>1$ donc $v_{n-1}$ existe et $v_n=f(v_{n-1})=-1$ donc avec la question ci-dessus $v_{n-1}=-1.$ On montre alors de proche en proche que $v_n=v_{n-1}=...=v_2=-1$ et donc $f(v_1)=v_2=-1$ donc $v_1=-1$ ce qui est absurde.

\begin{center}
\fbox{Bilan : $\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad v_{n} \neq-1.$}
\end{center}

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4 - Probabilités}
Une entreprise peut faire appel à deux fournisseur, la société A et la société B. La probabilité pour que la société A livre un produit conforme est de $\dfrac{9}{10} = 0,9$ alors que la probabilité que la société B livre un produit conforme est de $\dfrac{19}{20}$ : On se propose d'étudier diverses situations liées à ces données.

\subsection*{Situation 1}
Pour des raisons tarifaires, l'entreprise décide d'utiliser la société A dans 60\% des cas, et la société B sinon. On notera les évènements 
\begin{itemize}
\item A : "L'entreprise choisit la société $A$" 
\item B : "L'entreprise choisit la société $B$"
\item C : "L'entreprise reçoit un produit conforme" 
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item On déduit la probabilité suivante de l'énoncé
\begin{center}
\fbox{$P_A(C) = 0,9$.}
\end{center}
\item La famille $(A,B)$ forme un système complet d'évènement. D'après la formule des probabilités totales, on a
\begin{eqnarray*}
P(C) & = &  P(A) P_A(C) + P(B) P_B(C) \\
& = & 0,6 \times 0,9 + 0,4 \times \dfrac{19}{20} \\
& = & \dfrac{54}{100} + \dfrac{38}{100} \\
& = & 0,92
\end{eqnarray*}
\begin{center}
\fbox{La probabilité que le produit soit conforme est de 0,92.}
\end{center}

\item On cherche la probabilité qu'un colis ait été livré par la société A sachant que le produit n'est pas conforme. D'après la formule de Bayes, on a 
\begin{eqnarray*}
P_{\overline{C}}(A) & = &  \dfrac{P(A)}{P(\overline{C})}P_A(\overline{C}) \\
& = & \dfrac{0,6}{0,08}\times 0,1 \\
& = & \dfrac{6}{8} \\
& = & \dfrac{3}{4} 
\end{eqnarray*}

\begin{center}
\fbox{La probabilité qu'un colis ait été livré par la société A sachant qu'il n'est pas conforme est $\dfrac{3}{4}$. }
\end{center}

\item On a 
$$
P(A \cap C) = P(A) P_A(C) = 0,54
$$
et 
$$
P(A) \times P(C) = 0,6 \times 0,92 = 0,552
$$
\begin{center}
\fbox{Les évènements $A$ et $C$ ne sont donc pas indépendants. }
\end{center}
\item On a d'après la formule des probabilités composés, 
$$
P(A \cap C) = P(A) P_A (C)  = \dfrac{18}{20} x .
$$
D'après la formule des probabilités totales, 
\begin{align*}
P(C) & = P(A) P_A(C) + P(B) P_B(C) \\
& = \dfrac{18}{20} x + (1-x) \times \dfrac{19}{20} \\
& = \dfrac{19}{20} - \dfrac{1}{20}x 
\end{align*}
Ainsi
$$
P(A) \times P(C) = x \left( \dfrac{19}{20} - \dfrac{x}{20} \right) 
$$
On résout alors l'équation 
\begin{align*}
\dfrac{18}{20}x = \dfrac{19}{20}x - \dfrac{x^2}{20} \Longleftrightarrow & \dfrac{x^2 }{20} - \dfrac{1}{20}x = 0 \\
 \Longleftrightarrow & x^2 - x = 0 \\
 \Longleftrightarrow & x(x-1) = 0
\end{align*}

\begin{center}
\fbox{Les évènements $A$ et $C$ sont indépendants si et seulement si $x = 0$ ou $x=1$. }
\end{center}
\end{enumerate}

\subsection*{Situation 2}
Dans cette situation, il est décidé que le premier jour, l'entreprise utilise la société A. Puis si au jour $n$ ($n \in \N^*$), le produit arrivé n'est pas conforme, alors l'entreprise choisit la société $B$ au jour $n+1$, si le produit est conforme, elle choisit la société $A$ au jour $n+1$. 
On introduit pour tout $n \in \N$, l'événement $C_n$ : " le colis est conforme au jour $n$", et on note $p_n = P(C_n)$::
\begin{enumerate}
\item On cherche la probabilité que le produit soit conforme au premier jour. On sait que l'entreprise choisit la société $A$ le premier jour. Donc 
\begin{center}
 \fbox{$p_1 = 0,9$.}
 \end{center} 
\item Si le produit est conforme au jour $n$ alors l'entreprise choisit la société $A$. Ce qui signifie : \begin{center}
$P_{C_n}(C_{n+1} ) = 0,9$. 
\end{center}

Si le colis est arrivé à l'heure au jour $n$ alors l'entreprise choisit la société $B$. Ce qui signifie : \begin{center} $P_{\overline{C_n}}(C_{n+1} ) = \dfrac{19}{20}$.
\end{center} 
On sait également que $P(\overline{C_n}) = 1 - p_n$. Comme $(C_n, \overline{C_n})$ est un système complet d'évènements. D'après la formule des probabilités totales, 
\begin{eqnarray*}
& & P(C_{n+1}) = P(C_n) P_{C_n} (C_{n+1}) + P(\overline{C_n}) P_{\overline{C_n}} (C_{n+1}) \\
& \Longleftrightarrow & p_{n+1} = p_n \times \dfrac{18}{20} + (1-p_n) \times \dfrac{19}{20} \\
& \Longleftrightarrow & p_{n+1} = - \dfrac{1}{20} p_n + \dfrac{19}{20} 
\end{eqnarray*}
On conclut que 
\begin{center}
\fbox{$\forall n \in \N^*,  p_{n+1} = - \dfrac{1}{20} p_n + \dfrac{19}{20} $. }
\end{center}
\item On résout l'équation 
\begin{eqnarray*}
x = -\dfrac{1}{20} x + \dfrac{19}{20} & \Longleftrightarrow &  \dfrac{21}{20} x = \dfrac{19}{20} \\
& \Longleftrightarrow & x = \dfrac{19}{21} 
\end{eqnarray*}
On pose la suite $v_n = p_n - \dfrac{19}{21}$. On montre que cette suite est géométrique. Pour tout $n \in \N^*$,
\begin{eqnarray*}
v_{n+1} & = & p_{n+1} - \dfrac{19}{21} \\
& = & -\dfrac{1}{20} p_n + \dfrac{19}{20} - \dfrac{19}{21} \\
& = & - \dfrac{1}{20} \left( v_n + \dfrac{19}{21} \right) +\dfrac{19 \times 21 - 19 \times 20}{420} \\ 
& = & - \dfrac{1}{20} v_n - \dfrac{19}{420} +\dfrac{19}{420} \\
& = & -\dfrac{1}{20} v_n
\end{eqnarray*} 
De plus $v_1 = p_1 - \dfrac{19}{21} = \dfrac{9}{10} - \dfrac{19}{21} = \dfrac{189-190}{210} = -\dfrac{1}{210}$. La suite $(v_n)_{n \in \N}$ est une suite géométrique et donc
$$
\forall n \in \N^*, \quad v_n = -\dfrac{1}{210} \times \left( - \dfrac{1}{20} \right)^{n-1}
$$
On a alors 
\begin{center}
\fbox{$\forall n \in \N^*, \; p_n = \dfrac{19}{21} - \dfrac{1}{210} \times \left( - \dfrac{1}{20} \right)^{n-1}$. }
\end{center}
\item Programme qui affiche les n premiers termes de la suite (plusieurs façon de faire sont possibles)
\begin{verbatim}
n = input("Entrez un entier n")
p = 0.9 
disp("La probabilité que le produit soit conforme au jour 1 est " + string(p) +".")

for k = 2:n
    p = - 1/20*p + 19/20
    disp("La probabilité que le produit soit conforme au jour " + string(k) +" est " + string(p) +".")
end
\end{verbatim}
\end{enumerate}

\subsection*{Situation 3}
Finalement, l'entreprise décide d'utiliser les sociétés en fonction de leurs précédentes réussites. Pour cela ils utilisent une urne contenant des boules rouges et vertes. Chaque jour, l'entreprise tire une boule. Si la boule tirée est rouge, l'entreprise utilisée la société A. Sinon elle utilise l'entreprise B. Enfin,
\begin{itemize}
\item Au jour 1, on a 1 boule rouge et 1 boule verte.
\item Si la société A livre un produit conforme, on rajoute une boule rouge dans l'urne, sinon on ajoute une boule verte.
\item Si la société B livre un produit conforme, on rajoute une boule verte dans l'urne sinon on ajoute une boule rouge. 
\end{itemize}
On notera les évènements 
\begin{itemize}
\item $C_n$ : "Le produit est conforme au jour $n$".
\item $A_n$ : "On choisit la société A au jour $n$". 
\item $B_n$ : "On choisit la société B au jour $n$". 
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item \fbox{Les évènements $A_n$ et $B_n$ sont complémentaires.} 
\item D'après l'énoncé, \fbox{$P(A_1) = P(B_1) = \dfrac{1}{2}$.} 
\item On calcule la probabilité de $A_2$ sachant $A_1 \cap C_1$. Si le produit était conforme au premier jour, alors l'urne contient désormais 2 boules rouges et 1 boule verte. Alors
\begin{center}
\fbox{$ P_{A_1 \cap C_1} (A_2) = \dfrac{2}{3}$.}
\end{center}
\item On cherche la probabilité de l'évènement $A_1 \cap A_2$. La famille $(C_1, \overline{C_1})$ est un système complet d'évènements. D'après la formule des probabilités totales. 
\begin{eqnarray*}
P(A_1 \cap A_2) & = & P(A_1 \cap A_2 \cap C_1) + P(A_1 \cap A_2 \cap \overline{C_1}) \\
& = & P(A_1 \cap C_1) P_{A_1 \cap C_1}(A_2) +  P(A_1 \cap \overline{C_1}) P_{A_1 \cap \overline{C_1}}(A_2)
\end{eqnarray*}
On a également
\begin{itemize}
\item $P(A_1 \cap C_1) = P(A_1) P_{A_1} (C_1) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{9}{10} = \dfrac{9}{20}$
\item $P(A_1 \cap \overline{C_1}) = P(A_1) P_{A_1} (\overline{C_1}) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{20}$
\item $P_{A_1 \cap C_1} (A_2) = \dfrac{2}{3}$, \quad $P_{A_1 \cap \overline{C_1}} (A_2) = \dfrac{1}{3}$
\end{itemize}

Ainsi 
\begin{eqnarray*}
P(A_1 \cap A_2) &  = & \dfrac{9}{20} \times \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{20} \times \dfrac{1}{3} \\
& = &\dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{60}\\
\\
& = & \dfrac{19}{60}
\end{eqnarray*}
On a finalement, 
\begin{center}
\fbox{$ P(A_1 \cap A_2 ) = \dfrac{19}{60} $.
}
\end{center}
\item Afin de calculer la probabilité de $A_2$, on utilise le système complet d'évènement $(A_1 \cap C_1 , A_1 \cap \overline{C_1}, B_1 \cap C_1, B_1 \cap \overline{C_1})$ et la formule des probabilités totales :
$$
P(A_2) = P(A_1 \cap C_1) P_{A_1 \cap C_1} (A_2) +P(A_1 \cap \overline{C_1}) P_{A_1 \cap \overline{C_1}} (A_2) + P(B_1 \cap C_1) P_{B_1 \cap C_1} (A_2) +P(B_1 \cap \overline{C_1}) P_{B_1 \cap \overline{C_1}} (A_2)
$$
On a également
\begin{itemize}
\item $P(B_1 \cap C_1) = P(B_1) P_{B_1} (C_1) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{19}{20} = \dfrac{19}{40}$
\item $P(B_1 \cap \overline{C_1}) = P(B_1) P_{B_1} (\overline{C_1}) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{20} = \dfrac{1}{40}$
\item $P_{B_1 \cap C_1} (A_2) = \dfrac{1}{3}$, \quad $P_{B_1 \cap \overline{C_1}} (A_2) = \dfrac{2}{3}$
\end{itemize}
Ainsi 
\begin{eqnarray*}
P(A_2) & = & \dfrac{9}{20} \times \frac23 + \dfrac{1}{20} \times \dfrac{1}{3} + \dfrac{19}{40} \times \frac13 + \dfrac{1}{40} \times \dfrac{2}{3} \\
& = & \dfrac{19}{60} + \dfrac{19}{120} + \dfrac{2}{120}  \\
& = & \dfrac{59}{120}
\end{eqnarray*} 

En conclusion, \fbox{$ P(A_2) = \dfrac{59}{120}, \quad \text{et} \quad P(B_2) = 1 - P(A_2) = \dfrac{61}{120} $.}

\item On rappelle que d'après les questions précédentes
$$
P(A_1) = \dfrac{1}{2}, \quad P(A_2) = \dfrac{61}{120} \quad P(A_1 \cap A_2) = \dfrac{19}{60} = \dfrac{76}{240}
$$
Ainsi 
$$
P(A_1) \times P(A_2) = \dfrac{61}{140} \neq P(A_1 \cap A_2)
$$
On conclut
\begin{center}
\fbox{Les évènements $A_1$ et $A_2$ ne sont pas indépendants.}
\end{center}

\end{enumerate}

\end{document}